Aritmética y versos griegos

Por Alfonso Araujo, el 12 julio, 2021. Categoría(s): Historia • Matemáticas

La llamada Antología Griega es todo un tesoro de la literatura. Compilada a lo largo de muchos siglos a partir de mediados del s. I, recoge en quince volúmenes una enorme y valiosa colección de poemas cortos de autores desde la antiguedad clásica (s. VII aC) hasta la era bizantina (s. X-XI), en todo tipo de métricas, dialectos y temas.

Lo que nos ocupa en este espacio es el volumen XIV, que en medio de toneladas de poesía lírica, bucólica, oraciones fúnebres, celebraciones del amor y de batallas, se titula Problemas Aritméticos, Acertijos y Oráculos.

El amor de los griegos por las matemáticas es bien conocido, y en esta delicia de texto se presentan algunos problemas muy accesibles, puestos en métrica de verso. Aunque el énfasis de la colección es en la belleza del lenguaje, esto no obsta para que los problemas sean interesantes. El volumen XIV consta pues de 150 versos (“epigramas”) breves, 105 de los cuales son adivinanzas y oráculos, y sólo 45 son los referidos problemas, de los cuales (116-146) son conocidos como los “Epigramas de Metrodoro”, ya que se le atribuyen a este gramático y matemático del siglo VI.

Los problemas se dividen en cinco tipos que aquí veremos. Las soluciones (construcción de la ecuación y procedimiento) están al final del artículo.

 

Multiplicación

Este es únicamente el epigrama 147 y más que un problema, se incluye por ser la supuesta respuesta de Homero a Hesíodo, ante la pregunta de cuántos griegos tomaron parte en la Guerra de Troya:

“siete cuerpos de fuego, cada uno con cincuenta articulaciones, y en cada una de ella 900 aqueos.”

 

Reparticiones

Los epigramas 1-4, 48, 116-128, 137, 138 y 143 son todos de este tipo, en donde se cuenta una historia que describe cómo se ha repartido una cantidad usando fracciones, y se pregunta por la cantidad total. Presento el epigrama 4, “En los establos de Augías”, muy representativo del tipo de exposición usando leyendas clásicas:

Hércules interrogaba a Augías, con la intención de conocer

El tamaño de sus rebaños. Y así escuchó su respuesta:

“En las riberas del Alfeo, amigo mío, se halla la mitad de mis rebaños,

Y la octava parte pasta en las laderas del monte Cerineo.

Un doceavo de ellos está allá lejos, en los dominios de Taráxipo,

Una veinteava parte busca comida en el sagrado Elis,

Y en Arcadia dejé a uno de cada treinta del total.

Pero aquí, ante tus ojos, puedes ver las 50 bestias restantes.”

 

(Los epigramas 122 y 123 presentan una bella variante de la exposición del problema; el epigrama 48 es un caso especial con soluciones múltiples).

 

Dos cantidades

A este tipo pertenecen los epigramas 6, 13, 129, y 139-142: siempre con las mismas imágenes líricas, ahora se pregunta por dos cantidades —ya sea de tiempo, de distancia o de peso— que pueden expresarse en función de la otra. Aquí el epigrama 6, que me parece el más poético:

 

¡Tú, el mejor de los relojes,

Dime cuánto tiempo ha gastado el día!

Si aún le quedan dos veces dos tercios del tiempo ido.

 

Trabajo combinado

Ocho epigramas son de este tipo: el 7 y del 130 al 136: pertenecen al estilo clásico de “problema de trabajo”, en el que se describe la forma en que varios actores pueden desarrollar una actividad en el tiempo, y luego se pregunta cuánto tardarían todos juntos. Es un problema muy popular con infinidad de variaciones a lo largo de la historia: aquí se ve explicado con el problema de llenar de agua la bañera. El epigrama 7, “El León de Bronce”, es el que pone el ejemplo y los restantes son variaciones:

 

Soy un león de bronce,

Mis ojos, mi boca y mi garra derecha son fuentes de agua.

Mi ojo derecho puede llenar un cántaro en dos días,

El ojo izquierdo toma tres días, y mi garra cuatro.

Si mis fauces pueden llenarlo en sólo seis horas,

Dime cuánto tardaré si las cuatro fuentes se abren juntas.

 

Sistemas de más de dos variables

Hay tres problemas de este tipo (49, 51 y 144) y todos son muy atractivos en sus imágenes. Los epigramas 145 y 146 son de dos variables pero los incluyo en esta lista porque como problemas están presentados de forma similar a los otros tres. El truco de estos problemas es escribir correctamente las ecuaciones con 3 ó 4 variables, y luego ir sustituyéndolas con paciencia, en función de las otras. Presento tanto el 49 como el 51 porque ambos son muy bellos pero de distinto estilo:

 

49 – La Corona

Hazme una corona que mezcle oro y cobre, estaño y hierro.

Que el oro y el cobre sean dos tercios del total del peso,

Que el oro y el estaño sean tres cuartos del total,

Que el oro y el hierro sean tres quintos del total.

Dime cuánto oro, cobre, estaño y bronce usarás

Si la corona debe de pesar 60 minas.

 

51 – Alfa, Beta y Gamma

Alfa dice: tengo lo que Beta, más un tercio de lo que tiene Gamma.

Beta dice: tengo lo que Gamma, más un tercio de lo que tiene Alfa.

Gamma dice: tengo 10 minas, más un tercio de lo que tiene Beta.

 

 

 

REFERENCIAS

The Greek Anthology, Volume V, Book XIV (William Robert Paton, trad.). The Loeb Classical Library. William Heinemann, London, 1918; pp. 24-107.

En el enlace se puede consultar el texto en su totalidad, en versión bilingue griego-inglés. Animo a mi lector a que lo vea, a sabiendas que los siguientes poemas son los “no-matemáticos”: 5, 8-10, 14-47, 52-115, y 148-150.

Dentro de ellos, le sugiero ver tres adivinanzas: los poemas número 9 (“Andrómaca”), 41 (“Día y noche”) y 64 (“Acertijo de la Esfinge”) por su valor de curiosidad histórica.

 

 

SOLUCIONES

(1) Multiplicación

7 x 50 x 900 = 315,000 griegos

 

(2) Fracciones

x/2 + x/8 + x/12 + x/20 + x/30 + 50 = x

(x – 50) = x/2 + x/8 + x/12 + x/20 + x/30  —> mínimo común múltiplo: 240

240 (x – 50) = (120 + 30 + 20 + 12+ 8) x

240x – 12,000 = 190x

50x = 12,000

x = 240 animales

 

(3) Dos cantidades

Hay dos formas de resolverlo: en horas o en una fracción de día. Para resolverlo en horas:

x + y = 24 horas

y = 2(2x/3) = 4x/3

x + 4x/3 = 24

7x/3 = 24

7x = 72

x = 72/7

x = 10 2/7 horas han pasado, y quedan 13 y 5/7 horas

 

O bien, para resolverlo como parte del día:

x + y = 1 día

x + 4x/3 = 1

7x/3 = 1

x = 3/7 del día ha transcurrido.

 

(4) Trabajo combinado

La respuesta es aproximadamente 4 horas y 44 minutos. Iba a poner aquí la respuesta pero como hace uso extenso de fracciones se iba a ver horrible, así que aquí se puede revisar el procedimiento, escrito como Dios manda. En esencia, es expresar como fracción la velocidad a la que cada fuente puede llenar el cántaro (por ejemplo, la fuente cuatro es 1/6 de hora) y luego sumar las fracciones.

 

(5) Sistemas de ecuaciones con más de 2 variables

La Corona:

o + c + e + h = 60

o + c = (2/3) 60 = 40

o + e = (3/4) 60 = 45

o + h = (3/5) 60 = 36

o + (40 – o) + (45 – o) + (36 – o) = 60

-2o + 121 = 60

-2o = -61

o = 30.5

Sustituyendo el valor del oro en las tres ecuaciones de arriba, tenemos que:

Oro: 30.5, Cobre = 9.5, Estaño = 14.5 y Hierro = 5.5 minas.

 

Alfa, Beta, Gamma:

Es sustitución de las variables, un poco más laborioso que el anterior y se puede hacer de muchas formas para sustituir la variable que más nos guste. Primero, aquí está la formulación del problema:

  • A= B + C/3
  • B = C + A/3
  • C = 10 + B/3

Lo que queremos hacer es tomar cualquiera de esas ecuaciones y eliminar por lo menos una de las variables. Tomemos las ecuaciones 2 y 3:

Por la ecuación 2:  C = B – A/3  (despejando C)

Por la ecuación 3:  -C = -10 – B/3 (multiplicando todo por -1)

¡Ajá! Ya tenemos una C y una -C, que podemos usar para simplificar; sumemos ambas y nos da:

0 = (2/3)B – A/3 – 10

Multiplicamos todo por 3 para eliminar fracciones y cambiamos de lado el 0:

2B – A – 30 = 0

Y ahora sí, tomamos una de las variables para expresarla en términos de otra:

A = 2B – 30

¡Genial! Ya tenemos a A expresada en términos de B, y según la ecuación 3, también tenemos a C expresada en términos de B. Tomemos entonces nuestra A y C (ahora en términos de B) y las sustituimos en la ecuación 1. Con cuidadito

(2B – 30) = B + (10 + B/3) /3

En negritas está A, y en negritas cursivas está C, pero es la misma ecuación 1. Ahora vamos a hacer la operación de dividir C entre 3 para que no quede tan confusa:

(2B – 30) = B + (10/3 + B/9)

Y nada más qué hacer, que poner todas las B de un lado, y todos los numeritos del otro. Venga:

2B – B – B/9 = 30 + 10/3

Simplificando en una sola cantidad de cada lado:

(8/9)B = 100/3

Lo hemos logrado:

B = 900/24 = 37.5

 

¡Ta-táaan! Sustituyendo en las ecuaciones (1) y (3), encontramos C = 22.5 y A = 45.

 

Las Matemáticas son tus amigas. Desde los griegos hasta hoy.