Monopolos, never ending story – Parte III

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Continuamos con la serie monopolar, las entradas previas las podéis encontrar en:

Monopolos, nerver ending story: Parte 1 y Parte 2

Como comentamos en la segunda entrega de esta serie, Dirac nos enseñó que podíamos describir monopolos magnéticos en el electromagnetismo y que su existencia podría explicar la discretización de la carga eléctrica. Sin embargo, el procedimiento de Dirac se podía considerar un poco forzado, los monopolos se introducen a mano en el formalismo y aunque el resultado es plenamente consistente queda un regusto amargo.  Lo ideal en este caso sería encontrar un marco teórico en el que los monopolos fueran una característica inevitable, una consecuencia directa de los presupuestos teóricos.

Estoy seguro de que ya os podéis imaginar que este objetivo ha sido plenamente satisfecho. Hoy día la física fundamental establece que los monopolos son una consecuencia inevitable de toda una plétora de teorías.  Pocos dudan de su existencia, aunque el problema entonces es explicar por qué no los hemos detectado aún, problema cuya respuesta también deparó muchas sorpresas.

La entrada de hoy me hace especial ilusión, los motivos son los siguientes:

  1. Quiero hablar sobre un tema que es la piedra angular de la física actual. No sabría decir si lo he llegado a “entender” del todo, así que este ejercicio me parece una gran oportunidad de constatarlo.
  2. Nos vamos a meter con temas tales como la estructura básica del modelo estándar, teoría de grupos, teorías gauge, roturas espontáneas de la simetría y toda las palabrejas y conceptos que usan los físicos cuando hablan de estos temas.
  3. Mi único objetivo es limpiar en la medida de lo posible todos estos conceptos y transmitir qué significan y por qué los físicos se ponen tan contentos al hablar de ellos.

El objetivo último del siguiente par de entradas es que podamos admirarnos y entender un poco la imagen inicial de esta entrega 🙂  Hoy, vamos a entrar de lleno con las teorías gauge.

Particulita, ¿en qué espacio vives?

En los tratamientos elementales, sin meter la cuántica de por medio, de la física hay dos conceptos que se repiten sin cesar. Los campos y las partículas.  Los campos representan las interacciones entre partículas, las partículas son las que sienten y generan a los campos.  Las características que tienen las partículas para poder interactuar con un campo determinado son las cargas asociadas. Por ejemplo, las partículas con carga eléctrica pueden generar e interactuar con el campo electromagnético.

Cuando la cuántica entró en juego puso encima de la mesa una curiosa relación entre campos y partículas.  Según la cuántica, todo campo puede ser visto como un conjunto de partículas de unas determinadas características.  Además, las interacciones se presentan como intercambio de partículas propias del campo en cuestión entre las partículas que tienen las cargas apropiadas para acoplar la interacción con la que estemos trabajando.  Volviendo al electromagnetismo, un campo electromagnético cuántico está asociado a la presencia de fotones.  Los fotones son las partículas asociadas al campo electromagnético y son, una versión de ellos, los que median la interacción electromagnética entre partículas cargadas.

Nosotros asumiremos, en lo que sigue, que los campos son un conjunto de partículas cuánticas.

Lo primero que tenemos que determinar es cómo describimos el estado de una partícula. La respuesta no es trivial del todo, hay cosas evidentes, como que el campo está definido en todo el espacio, por lo tanto las expresiones matemáticas del campo dependerán del punto del espaciotiempo en el que lo estemos calculando (asignando coordenadas respecto a algún observador).

Así pues, podemos imaginar que nuestro campo estará dado por un conjunto de partículas cuyo estado, de cada uno de ellas, tendrá información sobre el espaciotiempo en el que se mueven:

gauge1

Pero eso no es todo, en física, las partículas cuánticas tienen características que no están asociadas directamente con el espaciotiempo. Los estados de las partículas, además de la información espaciotemporal, contienen información de sus cargas y de la forma en las que pueden acoplarse con las interacciones cuánticas. Esa información se revela en los valores que toma el campo no en el espaciotiempo sino en espacios asociados a cada partícula, en física se denominan espacios internos de los campos/partículas y representan posibles grados de libertad de las mismas que no están asociados al espaciotiempo.

gauge2Lo que indica la figura anterior es que la partícula en cuestión tiene información acerca del espaciotiempo, (t,x,y,z), y además, el objeto matemático que describe al campo toma valores en un espacio adicional que es capaz de sondear la partícula por tener una determinada carga.  En la imagen hemos puesto la partícula en el espaciotiempo (4 dimensiones) pero también ve en cada punto un espacio que está descrito por una circunferencia de radio 1.  A este espacio, los físicos y matemáticos lo denominan U(1).  Así que para nosotros cuando digamos U(1) nos referiremos a que nuestras partículas ven en cada punto del espaciotiempo un espacio adicional (interno, ya que solo lo ve la partícula) descrito por una circunferencia de radio unidad.

Como veremos a continuación podemos asociar muchos espacios internos distintos a un campo o partícula. Cada uno de ellos tendrá un significado físico distinto. ¿Quieres saber de qué va todo eso?  Sigue leyendo.

Emmy Noether, ¡Qué bien te conservas!

Noether

Una de las vigas maestras de la física es el Teorema de Noether. Este es un teorema maravilloso que fundamenta todo el modus operandi usual en física.  Cuando estudias esta ciencia aparecen una plétora de ecuaciones, se estudia la evolución de los sistemas, etc.  Sin embargo, el hilo conductor esencial en física es encontrar cantidades que no cambian en la evolución del sistema bajo estudio.  Sabemos que hay cantidades conservadas, la energía, el momento lineal, el momento angular, etc.  Gracias a que tenemos a nuestra disposición cantidades conservadas podemos estudiar como varían unas y otras dando lugar a toda la física de los sistema en evolución e interacción.  El secreto está en que estudiamos los cambios permitidos por las leyes de conservación.

Así que es muy pertinente preguntarse, ¿por qué hay cantidades conservadas?

La respuesta nos la dio Emmy Noether.  Esta matemática alemana probó un teorema del que se extrae la siguiente conclusión:

Si en una teoría física encontramos una simetría de las leyes físicas que rigen la evolución de los sistemas entonces habremos encontrado una cantidad conservada en dicha teoría.

¿Qué quiere decir esto?

  1. Las ecuaciones  y objetos matemáticos que definen a los campos/partículas y su evolución temporal dependerán de distintas coordenadas. Ya hemos visto que podemos tener coordenadas espaciotemporales y coordenadas internas de espacios asociados a las partículas en cada punto del espaciotiempo pero que no son parte del espaciotiempo.
  2. Si hacemos variaciones en esas coordenadas y las ecuaciones físicas no cambian su forma entonces diremos que hemos encontrado una simetría.
  3. El teorema nos dice que por cada simetría encontrada tendremos a nuestra disposición una cantidad que se conserva en la evolución del sistema bajo estudio.

Precisemos un poco:

  • Imaginemos que cambiamos el punto del espacio en el que situamos a nuestro observador.  Es decir, cambiamos de posición al observador que define el sistema de coordenadas con el que asignamos posiciones a las partículas. Es evidente, que este cambio de punto de vista no puede afectar a la física de un sistema.  Si tengo un péndulo oscilando este oscilará de la misma forma independientemente de donde me sitúe yo para estudiarlo. Por tanto, tenemos una simetría en las leyes físicas que las hace insensibles a la posición o desplazamiento del origen del sistema de coordenadas elegido para estudiarlas.  Por el teorema de Noether podemos asegurar que existe una cantidad conservada, el momento lineal.
  • La física también ha de ser insensible al tiempo en el que elijamos hacer la experiencia. Siguiendo con nuestro ejemplo, un péndulo tiene que oscilar igual sometido a las mismas condiciones a las doce de la mañana o a las tres de la madrugada. Esta es otra simetría bajo cambios en el origen de tiempos.  El teorema nos dice que la cantidad conservada asociada a esta simetría es la energía.
  • Y por último, la física ha de ser insensible a que rotemos el laboratorio que está haciendo el estudio en un ángulo determinado.  En el caso del péndulo, oscilará igual (sometido a las mismas condiciones) tanto si el laboratorio está orientado al norte, como al noreste, como al suroeste.  Esta simetría involucra una cantidad conservada, el momento angular.

Sin duda este es un gran teorema, es difícil escapar, aunque sea de esta forma tan pedestre, de tamaña belleza.

Pero ahora surge una duda, cualquier lector avispado habrá visto que estamos haciendo un poco de trampa. La discusión anterior solo hace referencia a transformaciones que hacemos sobre coordenadas del espaciotiempo, ¿qué pasa si modificamos las cosas en el espacio interno?  Respondamos a esta pregunta con el ejemplo que estamos usando en el que el espacio interno es U(1).

Las teorías gauge

Un campo físico vendrá descrito por un objeto matemático que contendrá dos tipos de información:  La parte espaciotemporal y la parte correspondiente al espacio interno.  En el caso que estamos tratando tendremos una parte que dependerá de las coordenadas (t,x,y,z), y otra parte que dependerá de la única coordenada que tenemos en una circunferencia de radio fijo (radio unidad, por simplificar), y es un ángulo. De manera informal, un campo vendrá descrito por:

CAMPO (Coordenadas espaciotemporales, Coordenada interna) = Parte Espaciotemporal (t,x,y,z) x Parte interna (\theta)

Ahora supongamos que tenemos nuestro campo, con sus partículas asociadas y que hemos elegido en todas las partículas un mismo ángulo en el espacio interno:

gauge21Ahora supongamos que hacemos un cambio global en el espacio interno, es decir, en cada punto cambiamos el ángulo inicial a otro ángulo diferente pero el mismo en todos los puntos. Esto se denomina en física transformación gauge global.

gauge22

Lo que sería deseable es que la física fuera insensible a este cambio. Las ecuaciones físicas no han de cambiar si efectuamos este tipo de cambios globales en los espacios internos de las partículas/campos con las que estemos trabajando.  De hecho, el teorema de Noether nos dice que si este cambio es una simetría, que lo es, existe una cantidad conservada. La cantidad conservada es:  ¡¡LA CARGA ELÉCTRICA!!

Resumiendo, si exigimos que una teoría sea invariante bajo transformaciones en el espacio interno de tipo U(1), entonces la física nos dice que existen cargas eléctricas y que dichas cargas verifican un principio de conservación. ¡Asombroso!

Si somos los suficientemente suspicaces podríamos ponerle una pega a este procedimiento. ¿Estamos obligados a hacer las transformaciones gauge globales? ¿Tengo que cambiar el ángulo del espacio U(1) la misma cantidad en todos los puntos del espaciotiempo?  La respuesta es que no, aunque esa sea una posibilidad aceptable y conlleva la conservación (y existencia) de la carga eléctrica, la situación más general es que en cada punto del espaciotiempo, el espacio interno asociado esté en una posición diferente y que, cuando hagamos una transformación del ángulo en U(1) esta sea diferente en distintos puntos.  A esto lo llamamos transformación gauge local.

Antes:

En cada punto tenemos un valor distinto de la coordenada U(1) del campo.
En cada punto tenemos un valor distinto de la coordenada U(1) del campo.

 

Ahora vamos ha permitir que en cada punto haya un cambio arbitrario de ángulo.

Después:

 

Hemos efectuado una transformación arbitraria, en cada punto del espaciotiempo, local, en la coordenada U(1).
Hemos efectuado una transformación arbitraria, en cada punto del espaciotiempo, local, en la coordenada U(1).

Si imponemos que la física no sienta estos cambios en las coordenadas de los espacios internos, en este caso el U(1) (= circunferencia de radio unidad) aunque sean locales, distintos en cada punto, pasa algo asombroso.  La física nos dice que la forma en la que estos cambios locales no afectan a las leyes física es porque aparece un campo, un compensador, que es capaz de armonizar los cambios realizados en los espacios internos de tipo U(1) en cada punto del espaciotiempo.  Este campo, en el caso de espacio interno U(1), es el electromangetismo que en términos cuánticos está asociado a la presencia de fotones:

gauge4¡Esto es bestial!

Las teorías gauge se fundamentan en este tipo de razonamientos.  En ellas la geometría es fundamental, pero lo que nos dicen es lo siguiente:

  1. En los campos tenemos dependencia de las coordenadas espaciotemporales y de otras coordenadas que viven en espacios internos asociados a cada punto del espaciotiempo.
  2. Si hacemos transformaciones globales en dichos espacios, eso tiene que ser una simetría y encontraremos cantidades conservadas. En el caso de que el espacio interno sea el U(1) tendremos la carga eléctrica.
  3. Si hacemos transformaciones locales y nuestras teorías son inmunes a dichas transformaciones esta teoría te dice que la única forma en la que eso es posible es en la que aparezca un nuevo campo, el campo de interacción, el campo gauge.

Por lo tanto, las teorías gauge son capaces de explicar las cargas de las partículas que les permiten interactuar con los campos como el electromagnético, el débil o el fuerte. Y no solo eso, además si exigimos la invariancia de una teoría respecto a transformaciones en un determinado espacio interno, las interacciones son el resultado de esa exigencia.  Así pues, la simetría gauge controla las interaciones y, de hecho, las exige.

Supongo que muchas veces habréis leído o escuchado por ahí que el modelo estándar, la teoría que describe como evolucionan y se comportan las partículas elementales y como interaccionan se basa en una estructura matemática del tipo:  U(1)xSU(2)xSU(3).  Ahora lo que tenemos que imaginar es lo siguiente:

gauge5Los campos pueden ver tres espacios internos en cada punto. Cada uno de ellos, exigiendo que las transformaciones globales no afecten a la física, determinarán cargas de las partículas, electromagnética, débil y de color (para la interacción fuerte) y exigiendo que las transformaciones locales tampoco afecten a la física nos escupirá el electromagnetismo (U(1)), la interacción débil (SU(2)), la interacción fuerte SU(3).  La diferencia entre esos espacios internos es su “forma”, U(1) = circunferencia de radio unidad, SU(2) es una esfera maciza de radio unidad, y SU(3) es un espacio raro que no sé representar, pero la filosofía es la misma.

No todas las partículas/campos tienen por que tener los mismos espacios internos, algunas podrán tenerlos todos y otras solo algunos de ellos.Un quark siente la interacción electromagnética (tiene un espacio interno U(1)), la interacción débil (tiene un espacio interno SU(2)), y la interacción fuerte (tiene un espacio interno SU(3).  Sin embargo un neutrino solo siente la interacción débil, así que solo tiene acceso a un espacio interno de los tres (SU(2)).

Espero que haya sabido transmitir más o menos de qué va eso de las teorías gauge.  Seguiremos con las roturas de simetría tan populares los últimos tiempos.

Nos seguimos leyendo…

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Este post es tan solo uno de los cinco artículos de la serie de Enrique F. Borja dedicada a los monopolos magnéticos, puedes encontrar la serie completa en:

Monopolos, never ending story – Parte 1
Monopolos, never ending story – Parte 2
Monopolos, never ending story – Parte 3
Monopolos, never ending story – Parte 4
Monopolos, never ending story – Parte 5

Intento escribir sobre física. A veces lo he conseguido.
Me parece importante remarcar que creo en cosas que no he visto, por ejemplo, en los electrones. También tengo varios diplomas, del que más orgulloso me siento es el de participante en la Olimpiada Infantil de 1992; nos dieron un bocata de salchichón y una camiseta.



Por Cuentos Cuánticos
Publicado el ⌚ 6 junio, 2014
Categoría(s): ✓ Física