Las matemáticas (y los peces de colores) son tus amigos

Por Alfonso Araujo, el 16 diciembre, 2020. Categoría(s): Matemáticas

Como ya he dicho antes, las matemáticas son un lenguaje que usamos para traducir el mundo a formas abstractas que podemos resolver (ecuaciones) y luego retraducir de vuelta al mundo real, una vez hallada la respuesta.

También he dicho que hacemos un trabajo terrible al enseñarlas y frecuentemente hacemos que los estudiantes terminen viéndolas como algo intimidante y lleno de símbolos impenetrables. La sola mención de la palabra “ecuación” es suficiente para aterrar a muchos.

Esto no tiene por qué ser así, y una de las formas más eficientes es ilustrar los problemas y su “traducción” a lenguaje matemático, de manera visual. En la entrega anterior de esta serie, lo ejemplifiqué con el problema clásico de “piensa un número”, explicado con peces de colores: mi niña de 8 años lo entendió perfectamente. Hoy veremos otro problema, un poco más complicado, pero usando los mismos peces (con un color extra) y que mi niña volvió a entender sin problemas.

El acertijo ha estado dando la vuelta al internet últimamente: la pregunta es, con las dos medidas dadas, cuál es la altura de la mesa.

Este problema requiere de un sistema de ecuaciones con tres incógnitas, de saber cómo se despeja una incógnita, y de entender que dos ecuaciones verdaderas se pueden sumar para obtener una tercera ecuación verdadera. Pero supongamos que tenemos 8 años y vayamos paso a paso.

 

UNA INCÓGNITA Y CÓMO DESPEJARLA

A los ocho años, en segundo de primaria, un niño sabe sumar y entiende perfectamente que:

1 + 2 = 3

Muy bien, pues pongamos eso visualmente con nuestros peces.

Tomemos la convención de que los peces rosas representan unidades, que una moneda representa la suma (+), y que un borrador representa el símbolo de igualdad (=). Tenemos:

Más claro no canta un gallo. Ahora agreguemos dos colores más: peces azules, que también representan unidades, y peces rojos, que representan incógnitas (la famosa x). Por ejemplo, si ponemos:

x + 2 = 3

es un pez rojo, una moneda, dos peces rosas, un borrador, y tres peces rosas. Esta ecuación es muy fácil de resolver: la respuesta es 1. Pero visualmente podemos quitar los dos peces rosas de la izquierda, nos peces rosas de la derecha, y ver que, claro, queda un pez rosa.

El pez rojo (x) es igual al pez rosa (1).

Mi niña encontró esto muy fácil y para practicar hizo un ejercicio más:

Como está familiarizada con el ábaco, usó una representación posicional para el “23” de la derecha. Para despejar la incógnita, quitamos todo lo que le estorba de su lado al pez rojo, y quitamos lo mismo del otro lado:

La respuesta es 21, o sea:

x + 2 – 2 = 23 – 2

 

DOS ECUACIONES Y SU SUMA

Pasemos a un sistema de dos ecuaciones:

Podemos ver que esas dos ecuaciones son verdaderas: 1 más 2 es 3, y 2 más 3 es 5.

Cuando tenemos dos ecuaciones verdaderas, las podemos sumar y el resultado también será verdadero:

Desde luego, 3 más 5 es 8.

Esto se cumple si tenemos números abstractos, peces de colores o incógnitas. Por ejemplo, si hacemos que nuestros peces rojos irrumpan en escena:

Si volvemos a quitar todo lo que le estorba a las incógnitas de cada lado:

Podemos ver que la respuesta es 2.

Pero también podemos sumar ambas ecuaciones, obteniendo que 2 peces rojos (2x) más 5, da 9:

Si quitamos los peces que estorban, o sea 5 de cada lado:

Tenemos que 2 peces rojos (2x) son igual a 4, e igualmente podemos encontrar que un pez rojo equivale a dos peces rosas: x = 2

 

Así que ya sabemos qué es un sistema de ecuaciones y sabemos que las ecuaciones se pueden sumar y encontrar una tercera. Vamos al problema, a “traducirlo”:

 

LA TRADUCCIÓN

Este problema tiene tres incógnitas: la altura de la mesa M, la altura de la tortuga T, y la altura del gato G. Y además tenemos dos dibujos, que nos indican dos formas en las que se relacionan estas tres cantidades.

Esto nos da un sistema de dos ecuaciones (las relaciones) y tres incógnitas (las alturas), que normalmente no se puede resolver*: necesitamos el mismo número de incógnitas que de relaciones.

¿Entonces? ¿Es un problema con truco?

Pues sí, lo es: y el truco lo podemos ver cuando traducimos nuestro problema a lenguaje matemático. Primero, vamos a definir cada dibujo en palabras:

(1) la mesa, más el gato, menos la tortuga, da 170

(2) la mesa, más la tortuga, menos el gato, da 130

Esto nos da este sistema de ecuaciones:

M + G – T = 170

M + T – G = 130

¡Ajajá! Ahí está el truco: cierto que tenemos más incógnitas que ecuaciones, pero no importa, porque dos de ellas (T y G) cambian de signo y si sumamos ambas ecuaciones, desaparecen al mismo tiempo. Aquí está el proceso, reescribiendo el orden de las incógnitas para que se vea más claro:

Dos veces la mesa (2M) es igual a 300, así que una mesa es 150.

¡Álgebra lineal para nivel 8 años! Y todo con unos cuantos peces de colores.

 


* En realidad sí se puede resolver, pero por prueba y error (“iteraciones”), que no es lo que estamos buscando hacer.

 

 



Por Alfonso Araujo, publicado el 16 diciembre, 2020
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