Matemáticas para gente sin quehacer

Por Alfonso Araujo, el 18 enero, 2021. Categoría(s): Curiosidades • Humor • Matemáticas

El científico no estudia la naturaleza porque sea útil hacerlo; la estudia porque encuentra placer en ello, y ese placer es causado por la belleza.

Henri Poincaré (1854-1912)

 

Ya antes he mencionado la importancia del juego en las matemáticas: el preguntarse “¿qué pasa si hago esto?” por el mero placer de experimentar y ver qué sucede, sin tener en mente la resolución de un problema específico o una aplicación práctica. Grandes descubrimientos suceden al estar experimentando libremente, porque puede ser que tarde o temprano nos topemos con un problema conocido, pero llegando desde un camino inesperado. A veces al experimentar, encontramos que hemos desarrollado una herramienta nueva que alguien más podrá usar en un problema que a nosotros ni se nos pasaba por la cabeza; o quizá podemos añadir preguntas a una pregunta conocida.

 

¿CÓMO JUGAR?

Un poeta y un matemático tienen mucho en común: hoy haré énfasis en el hecho de que ambas son personas con una gran fascinacion por, y dominio de, sus respectivos lenguajes. Al estar lleno de emoción o concentrado en un problema, ambos echan mano de sus recursos linguísticos para crear un soneto exaltado o una demostración elegante.

Sin embargo, es común que estén involucrados en un constante juego y manipulación de sus herramientas: el poeta puede estar ensayando metáforas, haciendo rimas poco comunes, creando adivinanzas ingeniosas… y usar algún descubrimiento afortunado de este tipo, al momento en el que la musa llama de nuevo.

De la misma forma el matemático se entretiene con rompecabezas de todo tipo, que le pueden servir al momento de retomar el trabajo “serio.” En la serie de Geometría y Blues me concentré en un ejemplo eminentemente gráfico; hoy tomaremos un tema enfocado en números.

 

OCURRENCIAS CUANDO NO TIENES NADA QUÉ HACER

Así que estás un día sentado en una sala de convenciones, escuchando discursos aburridos. Qué horror. Pero afortunadamente tienes a la mano papel y lápiz, de modo que decides ponerte a hacer experimentos con números, a ver qué pasa. Escribes unos cuantos números naturales:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 …

y piensas que a lo largo de los siglos, miles de matemáticos han sumado, multiplicado y hecho de todo con series a partir de esos números. Pero casi siempre usan progresiones que van de izquierda a derecha. Así que te preguntas, ¿qué pasaría si hago una secuencia más exótica? ¿o si combino sumas, restas y multiplicación? ¡Pues veamos!

Te dices: lo que voy a hacer es tomar un número (v.g. el 1), ignorar el que sigue (el 2), multiplicarlo por el tercero (el 3), y a ese resultado le sumaré el número ignorado. Y luego, ver qué pasa. O sea:

1 x 3 + 2 = 5

2 x 4 + 3= 11

3 x 5 + 4= 19

 

Después de un rato de estar haciendo esto, el juego te empieza a interesar porque reconoces patrones, que es de lo que se tratan las matemáticas. Ignorando por completo al tercer conferencista del evento, sigues experimentando con otras opciones: ¿qué pasa si en vez de sumar el número intermedio, lo resto? ¿Qué pasa si en vez de ignorar un número, ignoro 2, ó 3 ó 10? ¿Qué pasa si los números intermedios los voy sumando y restando alternativamente?

A medida que vas reconociendo patrones, buscas la forma de generalizarlos: esto es, te pones a escibirlos en forma de ecuaciones, de manera que si alguna vez alguien viene y te pregunta, “¿si multiplico 1 x 100, y luego sumo y resto alternativamente todos los números intermedios, cuál es el resultado?”, tú puedas, con cara de sabelotodo, sacar inmediatamente tu ecuación y dar la respuesta en segundos.

Bueno, eso y el hecho de que en matemáticas, cuando encuentras un patrón, no quieres simplemente saber la respuesta al caso que estás viendo, sino poder tener una respuesta general (una ecuación) para cualquier caso.

Como mi lector imaginará, eso fue exactamente lo que hice y aunque es algo muy poco trascendente, le mostraré los resultados a continuación.

 

DEFINICIONES

Hice cuatro casos: en todos, primero multiplicaba dos números separados por una distancia n, y luego los números intermedios los sumaba, restaba, o alternaba con suma y resta. Veamos el primer caso, que es el que describí antes: multiplicar dos números no consecutivos, y al resultado sumarle todo lo que está en medio. Estas son las definiciones:

x – cada número natural

n – la distancia a usar para encontrar el número por el cual voy a multiplicar (x+n)

y – el resultado de la multiplicación, más la suma de los números intermedios:

y = x(x+n) + [(x+1) + (x+2) + … (x+n-1)]

z = la diferencia entre cada resultado obtenido: yn+1 – yn

 

Vamos al ataque:

 

1. Suma de números intermedios

Este es el ejemplo que ya mencioné arriba:

y=x(x+n) + [(x+1) + (x+2) + … (x+n-1)]

y aquí está resuelto para 3 distancias (n) distintas, y para x de 1 a 6. Por ejemplo, el primer resultado de la primera columna, con n=3, es:  (1 x 4) + 2 + 3= 9. En la columna z, el primer resultado es la diferencia entre las y:  17 – 9= 8; 27 – 17= 10, etc.

¡El patrón emerge! ¿Lo ve?

Pues claro: no importa qué tan lejos estén los números (qué tan grande sea n), la columna z siempre arrojará la secuencia de números pares, empezando desde 2n: haga el cálculo si empezamos en 0, y verá que se llenan los lugares faltantes con el número par correspondiente.

Este es un bonito resultado: escogimos una operación más o menos al azar para relacionar números entre sí, y vemos que hay una regularidad en los resultados.

Ahora bien, si queremos ver cuál sería el resultado para x=100 y n=5, desde luego que podemos seguir calculando hacia abajo, pero no queremos eso: queremos la ecuación que nos lo diga fácilmente.

Para eso, en vez de decirle al Excel que rellene celdas y nos evite pensar, vayamos a la definición original del problema:

y= x(x+n) + [(x+1) + (x+2) + … (x+n-1)]

 

esa es la forma general del problema. Veamos algunos casos específicos para ver si encontramos otro patrón de comportamiento. Tomemos por ejemplo n=2 y resolvamos:

y= x(x+2) + (x+1)

y= x2 + 2x + x + 1

y= x2 + 3x + 1

Esta es la ecuación que nos dice la respuesta cuando n=2. Si hacemos el mismo procedimiento para otros valores de n, vamos encontrando más ecuaciones:

n=2:   x2 + 3x + 1

n=3:   x2 + 5x + 3

n=4:   x2 + 7x + 6

n=5:   x2 + 9x + 10

 

¡Otro patrón! Dos patrones, de hecho. Y siempre nos da gusto cuando vemos un patrón en ecuaciones, porque eso significa que las podemos generalizar a una sola. Observemos tres cosas:

  1. El primer término siempre es x2.
  2. El segundo término va creciendo, y el crecimiento está relacionado con n. De hecho, podemos ver que siempre es el doble de n menos uno; o sea: (2n-1).
  3. El tercer término también va creciendo de forma regular. ¿La identifica? Pues no es otra cosa que la secuencia de números triangulares: 1, 3, 6, 10, 15, 21… que se crea a partir de contar puntos en un triángulo:

Esta progresión es harto conocida, y para calcular números triangulares conocemos esta fórmula desde hace siglos:

n(n+1)/2

 

Sin embargo, observamos también que el número triangular en cada renglón no corresponde a la n de la ecuación, sino al de (n-1).

¡Eureka! Para nuestro problema, tenemos ya una fórmula general, a la que hemos llegado resolviendo varias veces y hallando patrones. La fórmula es ésta:

y= x2 + (2n-1)x +Tn-1

 

Donde Tn-1 representa el número triangular correcto: por ejemplo si n=4, debemos usar el número triangular 3, que es 6. Veamos un ejemplo de la tabla, con (n=4) y (x=5):

y= 52 + (2 x 4 – 1)5 +T3

y= 25 + (7)5 + 3(3+1)/2

y= 25 + 35 + 3(4)/2

y= 25 + 35 + 6

y= 66

 

¡Correcto! Así que si alguien nos pregunta cuál es el resultado para el número 7, y saltando 100 números, no tenemos problema:

y= 72 + (199)7 + 99(100)/2

 

Ahora bien, pasa con frecuencia que estando haciendo este tipo de cosa, y sintiendo que acabamos de descubrir algo a la par de la prueba de la Hipótesis de Riemann, nos damos cuenta de que eso lo resolvió Gauss a los 10 años de edad, en 1787.

¡Pero eso no nos debe desanimar! Al contrario, aunque haya maneras menos rebuscadas de resolver un problema, de nuevo digámoslo: a veces podemos encontrar un punto de vista nuevo, o una pequeña pero interesante técnica para abordarlo. Y como mínimo, podemos encontrar por nuestra cuenta un par de cosas que aunque bien sabidas, no por eso nos quitan el deleite de llegar a ellas sin ayuda.

Continuando con los experimentos…

 

2. Resta de números intermedios

Este es un problema muy parecido al anterior, haciendo la multiplicación de dos números, pero ahora restándole todo lo que está en medio:

y= x(x+n) – [(x+1) + (x+2) + … (x+n-1)]

 

Aunque sepamos que la sumatoria puede encontrarse fácilmente, hagamos lo mismo que en el caso anterior, expandiendo cada caso de n para hallar las soluciones específicas:

n=2:    x2 + x – 1

n=3:    x2 + x – 3

n=4:    x2 + x – 6

n=5:    x2 + x – 10

¡El patrón de ecuaciones es muy parecido al de la solución anterior! Pero en este caso, el segundo término tiene coeficiente 1, o sea que es más sencillo! La ecuación general la podemos expresar así:

x(x+1) – Tn-1

 

Y si calculamos unos cuantos casos como en el problema anterior:

Podemos ver un patrón de nuevo:

Otra vez, la columna z genera la secuencia de números pares, y en esta ocasión empieza siempre a partir del 2.

¡Interesante! Cuando sumamos, el dónde empieza la secuencia de pares depende de qué tan separados están los números a ambos extremos de la suma; pero cuando restamos, la secuencia empieza en el mismo punto siempre. Veamos más opciones:

 

3. Alternada, empezando con suma

Pongámonos más creativos y ahora, tras multiplicar los dos números extremos, tomemos los números intermedios y alternemos sumas y restas, así:

y= x(x+n) + (x+1) – (x+2) + (x+3) – (x+4) … (x+n-1)

 

Si desarrollamos las ecuaciones como antes, para ver qué estructura van teniendo en cada valor de n, vemos esto:

n=2:    x2 + 3x + 1

n=3:    x2 + 3x – 1

n=4:    x2 + 5x + 2

n=5:    x2 + 5x – 2

 

¡Es una forma nueva! En este caso va alternando valores, de igual forma que nosotros alternamos las sumas y las restas. Si seguimos desarrollando, vemos que:

  1. el primer término es siempre x2,
  2. el coeficiente del segundo empieza en 3 y cada 2 ecuaciones sube al siguiente número impar, y
  3. el tercer término empieza en 1, cambia de signo, y aumenta al siguiente número natural. Las siguientes ecuaciones en la serie son: (x2 + 7x + 3); (x2 + 7x – 3).

 

Veamos ahora nuestros cálculos y la columna z:

Pues bien, ahí está de nuevo la serie de los números pares, y ahora con una nueva característica: arranca en el mismo valor para n=3 y para n=4, pasando al siguiente número par en n=5 y n=6, etc.

¿Qué pasará si volvemos a alternar sumas y restas, pero ahora empezando con la resta?

 

4. Alternada, empezando con resta

Ésta es ahora la forma del problema:

y= x(x+n) – (x+1) + (x+2) – (x+3) + (x+4) … (x+n-1)

y así evolucionan sus fórmulas:

n=2:    x2 + x – 1

n=3:    x2 + 3x + 1

n=4:    x2 + 3x – 2

n=5:    x2 + 5x + 2

n=6:    x2 + 5x – 3

Que es la misma secuencia del problema anterior, pero desfasada. Veamos los cálculos:

Y por supuesto vuelve a aparecer la serie de números pares en la columna z, y el mismo compotamiento repetitivo de la anterior, sólo que desfasada en una posición.

Ahora bien, pasemos a hacer algo más estrafalario. Vamos a tomar una n más grande: n=17. Esto es, que los números extremos a multiplicar serán 1×17, 2×18 y así. Pero ahora, a los números intermedios les asignaremos una secuencia de sumas y restas aleatoria (pero siempre la misma). Por ejemplo:

+ – + + + – + + – – – – + – – +

Veamos:

Ahí está de nuevo lo que esperábamos ver: la serie de los pares. Así que con estos experimentos y observaciones, pasamos a hacer nuestra:

 

¡CONJETURA!

Para cualquier serie de este tipo de problema, no importa la manera en que se sumen o se resten los números intermedios, la serie de diferencias (yn+1 – yn) siempre generará la serie de números pares.

 

…y empezamos a esperar que algún genio matemático eventualmente pruebe con rigor nuestra hipótesis, al estilo de Andrew Wiles, que pudo probar el Último Teorema de Fermat, más de 300 años después de haber sido propuesto.

 

Subrayemos que este ejemplo que he dado no es en absoluto trascendente ni mucho menos, pero el proceso que acabamos de realizar sí es el proceso que llevan a cabo con frecuencia los matemáticos. Claro, partiendo de bases mucho más sofisticadas y con un arsenal de herramientas mucho más amplio. Pero sirva este pequeño ejercicio para ilustrar el juego del que a veces partimos, y la grata sopresa de encontrar patrones, examinarlos y darles una estructura formal.

Lo invito a que tome un papel y un lápiz, que son todas las herramientas que necesitamos, y se ponga a jugar con alguna combinación exótica de números y operaciones. ¡Igual puede encontrar una nueva perspectiva o una herramienta que se pueda usar para resolver uno de los grandes misterios matemáticos del milenio! Y si no llegamos a tanto, experimentar y aprender siempre es tiempo bien empleado.

En esos ratos en los que andamos sin quehacer.