¡Respira, Daniel-san!

Por Alfonso Araujo, el 14 enero, 2022. Categoría(s): Matemáticas
The Karate Kid, Columbia Pictures, 1986

Con frecuencia decimos que las matemáticas son un lenguaje y sobre todo una forma de estructurar el pensamiento de modo de afrontar problemas de manera ordenada. Para esto, hay que practicar mucho las diversas técnicas del álgebra, la geometría y otras áreas… pero además de resolver problemas “típicos”, es importante ver problemas que son intencionalmente confusos.

La razón es que los problemas que afrontamos en el mundo real, pueden ser de hecho muy confusos, tener un montón de información innecesaria, o bien llegar ante nosotros de una forma que de entrada no es nada clara. Esto nos puede causar frustración intensa, porque no sabemos ni qué herramienta usar para atacarlos. Veamos.

Cuando vemos un problema “bien portado”, es algo por ejemplo del tipo:

Ana tiene 4 años más que Miguel y la suma de sus edades es 8.

Este es un problema fácil de traducir a lenguaje matemático, y fácil de resolver:

x + 4 = y

x + y = 8

Pero luego están los problemas desesperantes, del estilo:

Vas conduciendo un autobús con 6 personas a bordo. En la primera parada bajan 2 y suben 5; en la segunda baja 1 y suben 3; en la última bajan 6 y suben 4.

¿De qué color son los ojos del conductor?

Este tipo de problema normalmente se plantea de forma oral, para que quien lo escucha no tenga forma de volver a la redacción y darse cuenta del truco al principio.

 

PROBLEMAS PARA SACARNOS DE QUICIO

Hay muchos problemas de esta naturaleza, que nos obligan a desarrollar el hábito de poner atención, a ser cuidadosos y sobre todo a no frustrarnos ante lo que de entrada parece ser una broma o algo sin sentido. Veamos un hermoso acertijo de este estilo:

Juan conversa con Laura en la puerta de la casa de ella. La conversación recae en las tres hijas de Laura y él le pregunta por sus edades. Ella responde:

“El producto de sus tres edades es 36 y la suma de las tres edades es el número de mi casa.”

Juan voltea a la pared para observar el número de la casa y contesta,

“Lo siento, pero esa información no es suficiente.”

Laura piensa un poco y asiente,

“Tienes razón, la información era incompleta. La mayor de las tres, toca el piano.”

Él sonríe y dice,

“¡Ajá, ahora sé cuáles son las edades!”

Ante este tipo de acertijo, mucha gente inmediatamente se frustra ante lo inesperado de la última revelación y no entiende cómo puede eso tener relación con averiguar las edades. Pueden pensar en “una edad a partir de la cual es razonable pensar que ya puede tocar el piano”, pero luego recuerdan que Mozart lo tocaba a los cinco… y avientan el problema al demonio.

Respira, Daniel-san. Aquieta tu mente.

El acertijo está específicamente diseñado para crear confusión, y la revelación del piano no dice lo que creemos que dice. El lenguaje natural puede ser ambiguo y traicionero, pero el lenguaje matemático no lo es, así que hagamos la traducción, paso a paso:

 

LO QUE SABEMOS CIERTO Y CLARO

Lo primero que sabemos es que si multiplicamos las edades de las tres niñas, el producto es 36. Pues bien, lo primero que hay que hacer es factorizar el número 36: sus factores son 1, 2, 3, 4, 9, 12, 18 y 36.

Usando esos factores, jugamos un poco para encontrar todas las combinaciones de tres multiplicaciones. No son muchas, hay tan sólo ocho posibilidades de cómo pueden estar distribuidas las edades:

1 x 1 x 36

1 x 6 x 6

1 x 4 x 9

1 x 3 x 12

1 x 2 x 18

2 x 2 x 9

2 x 3 x 6

3 x 3 x 4

 

Muy bien. Ahora, también sabemos que si sumamos las tres edades, obtendremos el número de calle de la casa de Laura. O sea, que el número sólo pueden ser una de estas opciones:

1 + 1 + 36 = 38

1 + 6 + 6 = 13

1 + 4 + 9 = 14

1 + 3 + 12 = 16

1 + 2 + 18 = 21

2 + 2 + 9 = 13

2 + 3 + 6 = 11

3 + 3 + 4 = 10

 

¡Ajajá, ahí está la respuesta!

Um… ¿no la has visto?

Respira, Daniel-san.

 

LA FRASE QUE NO DICE LO QUE DICE

Esta es la clave: Juan sabe todo lo de ahí arriba, además ha visto el número de la casa de Laura, y aún así dice que no tiene suficiente información.

La única posibilidad para que eso pase, es que el número de la casa sea 13.

¿Por qué?

¡Pues porque hay dos opciones que dan 13! Tanto la combinación 1-6-6 como la 2-2-9 suman 13. Si el número de la casa hubiera sido cualquier otro, Juan sabría las edades de inmediato, pero siendo 13 tiene dos opciones válidas, y no puede decidir entre ellas.

Laura se da cuenta y dice entonces, “la mayor de las tres toca el piano.”

El hecho de que toque piano es irrelevante: lo que esta frase dice en realidad es que hay una niña que es mayor que las otras, y por lo tanto se descarta la opción 1-6-6.

Las edades de las niñas son 2, 2 y 9 años.

 

Breathe in, breathe out, Daniel-san.



Por Alfonso Araujo, publicado el 14 enero, 2022
Categoría(s): Matemáticas
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