Geometría y Blues. 06: Un interludio matemático

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06 Interludio11. LA DEFINICIÓN DEL UNIVERSO M

Primeramente, definiremos los conceptos dentro de los cuales existe nuestro experimento así como sus reglas, de modo que tenga un máximo de generalidad y flexibilidad:

  1. Un Espacio M es una colección de puntos distribuidos a lo largo de un objeto geométrico en un espacio n-dimensional.
  2. Dentro de un Espacio M se pueden crear figuras por medio de líneas que van de un punto a otro.
  3. Las figuras en un Espacio M se crean por medio del uso de Patrones M.
  4. Un Patrón M es un conjunto arbitrariamente grande de objetos, con una relación o estructura que los define.
  5. No existe un punto privilegiado de inicio en un Espacio M para comenzar a trazar una figura.
  6. Las líneas que unen los puntos pueden avanzar en el mismo orden que los objetos pertenecientes al Patrón M que la define, en sentido contrario, o en formas alternantes definidas por una regla constante.
  7. Un Número M es un conjunto de figuras dentro de un Espacio M, que pertenecen a un solo Patrón M.

Con estas reglas básicas, podemos apreciar que lo que hemos estado haciendo hasta este momento es sólo jugar dentro de un universo posible mucho más extenso. Traduzcamos a lenguaje más coloquial las reglas: primeramente, el espacio que podemos usar no es necesariamente un círculo y ni siquiera tiene que ser una figura cerrada; podemos usar polígonos, parábolas, lemniscatos, etc. Tampoco tenemos que limitarnos como lo hemos hecho a dos dimensiones, sino que podemos usar sólidos regulares, cristales, hipercubos y cualquier cosa que se nos ocurra. Tan sólo necesitamos una colección de puntos distribuidos —de manera uniforme ó irregular— a lo largo de la figura de nuestra elección.

En segundo lugar, como ya hemos practicado, podemos crear figuras con esos puntos, uniéndolos ya sea con rectas como hasta ahora, ó con curvas simples o complejas.

Los puntos 3, 4 y 5 nos dicen que lo que haremos es usar una estructura para crear nuestras figuras: en nuestro caso hemos usado las estructuras llamadas “escalas musicales”, que parten de relaciones acústicas en el mundo físico. Pero el patrón puede ser cualquier colección de objetos, con tal que estén definidos por alguna relación entre ellos. Para distribuir, o mapear, dichos objetos en los puntos de nuestro espacio, podemos seguir cualquiera de las reglas que los relacionan. Hasta ahora lo que hemos probado es usar dos de las reglas que relacionan las notas dentro de una escala musical: la regla de Quintas y la regla Cromática; pero hay muchas otras que podríamos usar de forma igualmente válida. Y como los objetos del patrón “pierden” su identidad al pasar a nuestro sistema, convirtiéndose simplemente en puntos, no hay un punto privilegiado de arranque. De esta forma es que hemos usado la nota C para arrancar, pero sería indistinto usar cualquier otra, ya que se formarían las mismas figuras —cambiando sólo su orientación— y llegaríamos a las mismas conclusiones.

El punto 6 indica que en nuestros ejemplos podríamos avanzar a favor o en contra de cómo avanza la escala, o bien definir alguna regla que nos diga algo como “avanzar un paso al frente, luego dos hacia atrás, luego tres al frente…”, etc. Además, no hay nada que nos indique en las reglas que debamos regresar al punto de partida, pero en nuestro caso lo hemos hecho por convención de cerrar la figura y la escala musical.

Finalmente, el punto 7 define una función que, aplicada a un experimento, nos dará un resultado expresado en conjuntos de figuras. Veremos esto a continuación.

12. EL CÍRCULO DE QUINTAS EN EL UNIVERSO M

Tomando en cuenta las definiciones dadas para hacer estos experimentos en general, podemos definir nuestro experimento particular con las siguientes condiciones:

  1. El Espacio M es un círculo en el plano XY, con doce puntos equidistantes (un dodecágono regular);
  2. Los dos Patrones M a usar para el trazo de figuras son las escalas y los acordes musicales;
  3. Los objetos de la escala musical (12 notas) estarán mapeados a los 12 puntos del Espacio M por medio de la regla de Quintas Justas.
  4. Las figuras se trazan de forma unidireccional, en el mismo sentido del orden de los objetos mapeados (las escalas).

Nótese que con estos límites reducimos inmensamente el Universo M a las necesidades de nuestro experimento, pero aún tenemos algunas cosas por detallar. Con los cuatro puntos anteriores, estamos diciendo que podemos usar patrones que van desde 2 notas (intervalo) hasta 12 (escala cromática); pero hay algo que aún falta: no decimos de qué forma organizaremos los resultados. Aquí entra la función de Número M , mencionada en el punto 7 del capítulo anterior.

13. LA FUNCIÓN M

La función Número M nos indicará cómo vamos a construir nuestras figuras. Primeramente, propongamos una forma de expresarla, para entonces ver sus detalles. Su forma completa podría ser:

50 Definicion Numero MEl subíndice (12) indica la cantidad de puntos posibles a usar dentro de nuestro espacio, y la flecha superior indica que la manera de trazar es unidireccional. Ya que nuestros experimentos fueron concebidos en base a las escalas musicales y siempre usaremos el dodecágono regular y la unidireccionalidad de trazo, podemos obviar estos dos signos y reducirla a:

M (p, n)

de la misma forma en que la función loge (“logaritmo base e”) normalmente se escribe como ln (logaritmo natural), tomando por defecto al número e como base y solamente usando subíndices si la base es diferente, como en log10.

Lo siguiente es: ¿qué son los parámetros p y n?

Estos son los dos números que nos indicarán qué tipo de patrón estamos usando y de qué tipo será la figura resultante. Así, p será la cantidad de puntos presentes en el Patrón M, y n será la cantidad de puntos que de hecho usaremos para trazar la figura. Veamos algunos ejemplos para clarificar:

M (1, 1) sería el caso de una sola nota mapeada a un solo punto en el círculo, que es el mismo punto que se puede usar. Este caso es trivial y no genera ninguna figura, su resultado es el conjunto vacío:

M (1, 1) = Ø

M (2, 1) es el caso de dos notas (un intervalo): un origen y una nota a la cual se realiza el trazo. El resultado de esta función es un conjunto de 11 líneas, trazadas desde el origen hacia todos los puntos del dodecágono. Así,

M (2, 1) = {Fig. 1, Fig., 2, … Fig. 11}

y de hecho este mismo resultado es indistinguible para M (2, 2), pues la n=2 indica que los trazos se hacen de ida y vuelta. Para p=2, las figuras resultantes son redundantes, pues arrojan las mismas 11 rectas, lo que nos da valores de la dispersión D(e) de cada intervalo. Estos valores van de 1 a 6 ó bien de 300 a 1800, como ya habíamos mencionado en el capítulo 6.

El primer caso interesante aparece en p=3, con lo que ya podemos formar acordes de tres notas como hicimos en el capítulo 8, obteniendo nuestros primeros polígonos.

M (3, 1) es el caso de tres puntos posibles en el círculo, pero sólo usando el origen y uno más como destino. Esto da como resultado el mismo conjunto de 11 rectas del ejemplo anterior. En M (3, 2) , se pueden usar los otros dos puntos además del origen, pero no se regresa al origen; esto da como resultado el conjunto de todos los ángulos posibles usando los 12 puntos de nuestro espacio. Para M (3, 3), el número de combinaciones se empieza a hacer mucho más grande, pues son todos los triángulos posibles que se pueden hacer en el espacio de 12 puntos.

Para dar un ejemplo limitado, usaremos esta regla: obtener M (3, 3), manteniendo fijos los dos primeros puntos. El origen, por definición siempre es fijo; aquí especificamos que además el segundo punto también será siempre fijo, y de ahí el trazo continuará a los 10 puntos restantes. El resultado de esta limitación de la función será un conjunto de 10 triángulos.

En términos de nuestro círculo de quintas, esto significa que, siguiendo el orden de la escala musical, partimos siempre de C a C♯ (o sea D♭), y de ahí seguimos a todas las demás notas. Este es el resultado de este subconjunto de M (3, 3):

20 M number 1, completoPodemos observar que estos triángulos resultantes crean pares simétricos en forma palindrómica (el 1 con el 10 son iguales, el 2 con el 9, etc.), pero son diferentes orientaciones. Una primera opción es simplificar el conjunto de modo que usemos solamente los triángulos 1-5.

Otra forma, que propondremos aquí, es combinar los pares como hicimos en el capítulo 8, combinando acordes:

20 M number 1, paresSi seguimos este mismo procedimiento, usando limitaciones similares para los puntos fijos, podemos obtener el primer subconjunto para M (4, 4):

20 M number 2, completoDe nuevo obtenemos simetrías, pero en este caso hay cinco polígonos resultantes, uno de los cuales es único:

20 M number 2, paresDespués de estos ejemplos, llegamos a la conclusión gráfica que ya habíamos definido en el capítulo 12: nuestro experimento de escalas musicales mapeadas a nuestro espacio M, da como resultado subconjuntos de la función M (5, 5) al usar escalas pentatónicas, y subconjuntos de la función M (7, 7) al usar escalas de siete notas. La figura de la escala cromática es un subconjunto de la función M (12, 12).

Estos diferentes casos de subconjuntos-solución representan algo más general que las escalas, y el lector con formación musical se dirá en este punto: por supuesto, representan Melodías. Esto es, representan lo que en música son frases significativas. Las escalas, dentro de nuestro sistema, serían subconjuntos melódicos de extensión limitada con una estructura unidireccional.

Desde luego, los subconjuntos de melodías posibles, aún limitados por conjuntos pequeños de notas como 5 y 7 como hemos hecho aquí, conforman un número inmenso. El número real es tan enorme porque las melodías posibles “en el mundo real” incluyen dos cosas que no tomamos en cuenta en nuestro sistema: la repetición de notas y la duración de cada nota. El sistema de escritura musical en partitura incluye todas las posibles características para poder plasmar una melodía: duraciones, volumen, dinámicas y otros factores, pero nuestro sistema es ciego ante esas características. Veremos por qué esto es una ventaja.

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