Las matemáticas son tus amigas – II

Por Alfonso Araujo, el 14 marzo, 2020. Categoría(s): Matemáticas

Mi agradecimiento a todos los matemáticos que gentilmente me permitieron usar capturas de pantalla de sus soluciones y a Sébastien Le Bécachel por el planteamiento del problema.

 

En la primera parte de esta serie, decíamos que las matemáticas son un lenguaje, y que una gran parte del tiempo usamos ese lenguaje para traducir. ¿Qué es lo que traducimos? ¡Pues las cosas que vemos en el mundo! Pero como esas cosas son muy complejas y a veces son difíciles de expresar y resolver en lenguaje natural, tomamos las partes más relevantes de ellas, las traducimos a lenguaje matemático, las resolvemos, y luego tomamos la respuesta para “re-traducirla” y aplicarla al mundo real.

En ese artículo vimos un problema de dos niños cuyas edades tenemos que averiguar. Otros problemas que “traducimos a ecuaciones” y resolvemos de forma rutinaria son cosas como, ¿cuál es el máximo peso que puedo poner en el avión para que llegue a su destino sin caerse?; ¿cuántos tomates es necesario plantar esta temporada para satisfacer el crecimiento de la demanda por salsa para pizza?; ó más recientemente, ¿cuántas camas necesito tener disponibles en un hospital en caso de que se infecten con este nuevo virus?

Todas estas cuestiones tienen una importancia muy obvia, y modelarlas —que es la palabra correcta para decir “traducir a matemáticas” — es fundamental para no caernos en medio del Adriático, prepararnos en un evento epidémico y tener pizza suficiente en todo momento.

Pero decíamos también que, como cualquier lenguaje, no siempre estamos haciendo cosas “útiles” con él. No todo es dar noticias o presentar reportes, claro está; y cuando estamos disfrutando del ocio, nos ponemos a imaginar historias, contar chistes y hacer poesía.

Esto también se puede hacer en el lenguaje de las matemáticas, y es tan imaginativo, divertido y hermoso como en el lenguaje natural. Así que hoy veremos un ejemplo de esa parte ociosa. La forma más común de echar a volar la imaginación con este lenguaje es tomar algún dato conocido, preguntarnos, “qué pasa si…?”, y empezar a jugar.

Por ejemplo, nos podemos preguntar, ¿qué pasa si sumo un montón de fracciones cuyos denominadores son siempre números primos?; o ¿qué pasa si empiezo a dibujar círculos y triángulos?, o ¿hay infinitos más grandes que otros?

Todas esas preguntas parecen perfectamente inútiles y de hecho son como rompecabezas fascinantes, pero una vez que les encontramos respuesta, resulta que las herramientas que inventamos para resolverlas, son útiles para resolver nuestros problemas “útiles”. Además es como la poesía que inspira a mentes afines a través de las generaciones: respecto a la primera pregunta, ya desde el siglo III a.C., Euclides había demostrado que los números primos son infinitos, pero veinte siglos después, Leonhard Euler demostró que la suma de sus recíprocos da como resultado infinito (propiamente, “la serie es divergente”).

En teoría de números y en geometría, la imaginación se hace especialmente fértil, y con frecuencia es tremendamente placentero dibujar un cuadro, pintar una raya extraña y preguntarnos qué diablos pasa con ella, sólo por el placer de saber. Eso es lo que planteó en Twitter el otro día Sébastien Le Bécachel (@le_becachel) con el elegante problema que pongo como portada de este artículo.

El problema es éste: si tenemos un rectángulo cuyo perímetro mide 6 unidades, ¿cuál es la longitud de la línea roja, formada por dos medios círculos distintos?

Hay montones de problemas de este tipo, pero escogí éste por ser especialmente hermoso: tenemos sólo un dato numérico, y para resolverlo necesitamos saber tan sólo un hecho geométrico que aprendemos en primaria. El hecho es este:

Para calcular el perímetro (P) de un círculo, se multiplica su diámetro (d) por el número Pi. Esto lo expresamos así:

P = πd

Como el diámetro del círculo equivale a dos veces el radio (r), es común que se exprese así:

P = 2πr

Ahora pasemos a resolver el problema, ¿cuál es la longitud de esa curva?

Muchos matemáticos resolvieron el problema rápidamente, y publicaron sus soluciones que iban desde un papel con garabatos hasta animaciones en software especializado. Comparto varias de éstas al final del artículo, pero usaré la mejor de todas para explicarlo: solución cortesía de Mario Misas Arcos (@mario121m). He aquí su respuesta:

Está toda expresada en matemáticas, así que veamos su riguroso razonamiento (que es casi un soneto) paso a paso en lenguaje natural. Lo primero que hace Mario es, por supuesto, darle nombre a las cosas:

Tenemos primero la altura y la base del rectángulo: h y B,

y además los dos radios de los dos medios círculos: r1 y r2.

El segundo paso es empezar a ver las equivalencias que tengamos por ahí: en este caso podemos ver que a lo alto, h es lo mismo que r1 + r2; y a lo ancho, B es lo mismo que 2 veces r1 (2r1), más 2 veces r2 (2r2).

Una vez que podemos visualizar todas estas cantidades, lo que hacemos es relacionarlas entre sí, usando ecuaciones. Lo que estas ecuaciones dicen:

Es lo siguiente:

(1) La altura es igual a la suma de los dos radios.

(2) La base es igual a la suma del doble de los radios.

(3) Dos veces la base más dos veces la altura, nos da el perímetro, que sabemos que es 6.

(3) Si sumamos la base y la altura sólo una vez (la mitad del perímetro), nos da 3.

(4) Sabemos que el perímetro de un círculo es π multiplicado por dos veces su radio (2πr). Por lo tanto, la mitad de ese perímetro (medio círculo) es π multiplicado por una vez el radio (πr). Y como la longitud L que buscamos, es la suma de dos medios círculos, entonces Mario lo expresa así: el perímetro del medio círculo pequeño (πr1) más el perímetro del medio círculo grande (πr2).

No hemos hecho más que darle nombre a las cosas que están ante nuestros ojos y, con un dato que conocemos de antes, crear relaciones entre ellas. Esto es lo que hace el lenguaje: nombrar y relacionar.

Ahora estamos listos para tomar todas esas relaciones y obtener lo que buscamos:

Aquí Mario relaciona la ecuación (1) con la (2) y la (3). Esto es, que usa tres pedacitos de información, los mezcla, y obtiene un pedacito nuevo. ¿Cómo lo hace? Pues:

La altura h es igual a la suma de los dos radios (r1 + r2), y

la base B es igual al doble de esa suma (2r1 + 2r2), así que

si sumamos ambos (h + B), tenemos 3 veces la suma de los radios (3r1 + 3r2). Esta suma también la podemos poner así: 3(r1 + r2), porque ambas r están multiplicadas por 3.

Como sabemos por la ecuación (3), que h + B nos da 3, podemos poner, en vez de h + B:

3(r1 + r2) = 3

y como tenemos el 3 en ambos lados de la ecuación, podemos dividir todo entre 3 y eliminarlo, lo que nos da:

(r1 + r2) = 1

¡Listo!

Ahora tomamos la ecuación (4), que nos dice que la longitud L que tanto buscamos, es la suma de los dos medios círculos:

L = πr1 + πr2

que por supuesto, también podemos escribir así:

L = π (r1 + r2)

y como nos acabamos de dar cuenta de que (r1 + r2) es igual a 1, pues:

¡Eureka! ¡La longitud L que buscamos no es otra cosa que π!

¿De qué nos sirve todo esto? Pues de haber entendido cómo se estructura un soneto en matemáticas. Ya tenemos más lenguaje, ya tenemos más vocabulario: podemos tomar papel y lápiz, dibujar un cuadro con alguna curva rara, y divertirnos otro poco.

 

* * *

 

Aquí otras soluciones, hechas de diversas maneras. Primero, Amaresh G S (@AmareshGS1), Patty Stephens (@pattystephens) y Per Henrik Christiansen (@PerHenrikChris1) se pusieron super profesionales y compartieron animaciones y screenshots de la solución hecha en software:

Tito Eliatron (@eliatron) asumió que esto lo veríamos sólo gente de matemáticas así que se puso en modo económico:

E isabel (@asitnof) hizo lo propio, poniéndose aún más críptica:

Ricky Reusser (@rickyreusser) con menos paciencia, tomó el primer papel que se halló para dar su respuesta, simplificando de paso el problema:

y 𝕄𝟙𝔾𝕌𝟛𝕃_ℍℍ (@M1GU3L_HH) también, compartió su elegante proceso en tan sólo tres líneas:

Un acertijo: una idea; ocho formas más prosaicas o más poéticas de expresarla, y al final, concordancia. Esta es la belleza de este lenguaje que llamamos matemáticas.