Geometría y Blues. 08: Juegos locos en el Universo M

08 Juegos locos14. JUEGOS GEOMÉTRICOS EN UN ESPACIO M

En este capítulo, siempre con el espíritu de “vamos a ver qué pasa” con el que empezamos nuestra aventura, presentaremos algunas manipulaciones geométricas básicas, para usar en las figuras que hemos ido encontrando al mapear escalas y acordes musicales. Consideremos primero el conjunto de 5 pares de triángulos que encontramos en el capítulo 13. Para nuestros propósitos, tomaremos los pares de triángulos y unificaremos sus orientaciones, colocándolos todos en simetría vertical. Esto nos da:

22 01 M1 1-5Ahora los arreglamos de nuevo, poniéndolos en una misma línea base que corresponda con la base de cada figura dentro de su círculo, para formar una línea continua. Esto es:

22 02 M1 Base 1En esta primera manipulación, vemos que además de la línea base horizontal, los triángulos forman dos líneas continuas emergentes. Los triángulos 1-5 están representados en negro mientras que sus simétricos 6-10 están representados con gris. Si tomamos en cuenta cada línea de forma independiente, tenemos dos gráficas simples resultantes para los triángulos 1-5 (negros), y para sus contrapartes simétricas 6-10 (rojos):

22 03 M1 Base 1, o1 o2 juntasNo nos dice mucho, pero esta es una primera opción de manipulación. Veamos otra que pudiera ser más interesante. Cuando primero generamos los pares de triángulos, con su orientación original, obtuvimos esto:

20 M number 1, paresAlgo que salta a la vista es que en esta generación “natural” de los pares, hay una alternancia en su orientación, haciendo que parezcan oscilar de derecha a izquierda. Tomando esto en consideración, creemos una nueva línea base para colocarlos juntos de nuevo, usando esta alternancia:

22 05 M1 Base 2Aquí reconocemos un obvio patrón oscilatorio al observar las líneas continuas que emergen de un círculo a otro. Yendo por este camino, podemos tomar en cuenta tres diferentes patrones: el de las líneas oscuras, el de las líneas claras, y los puntos medios:

22 06 M1 Base 2, puntos mediosCon esta nueva disposición, podemos obtener dos nuevas líneas simples a partir de los triángulos y sus pares simétricos:

22 08a M1 Base 2, grafica 1, 2 juntasY como parte de nuestras manipulaciones, podemos superponer ambas líneas y reflejarlas en el eje horizontal:

22 09 M1 Base 2, 1-2Ahora bien, tomando en cuenta los puntos medios de las figuras, podemos trazar una curva sinusoidal para aproximarlos:

22 10 M1 Base 2, curvaSi la re-arreglamos para que la oscilación vaya de mayor a menor, tenemos una curva que parece la típica gráfica del movimiento armónico simple, atenuado:

22 11 M1 Base 2, curva decrecienteY si queremos podemos tomar esta curva y reproducirla, aumentando su frecuencia:

22 12 M1 Base 2, curva alta frecuenciaOtra opción puede ser, separar los pares de modo que obtengamos sólo líneas continuas, no rotas. Esto sería una tercera línea base y nos daría dos nuevas gráficas cuyas líneas no se rompen entre un círculo y otro:

22 15a M1 Base 3, juntasy que de nuevo podemos superponer y reflejar en el eje horizontal:

22 16 y 17 Base 3Más aún, podemos usar estas construcciones reflejadas, para rotarlas y explorar sus simetrías resultantes:

90 Dos cristalesSi el lector está desconcertado por las extrañas manipulaciones de esta sección, quiero recordarle que durante toda esta exploración no debemos perder de vista el enfoque de juego y de continuamente preguntarnos, “¿qué pasa si…?”

Otras preguntas:

  1. ¿Qué pasa si tomamos las gráficas de frecuencia encontradas a partir de un conjunto de pares y las llevamos “de regreso al mundo real? ¿A qué equivalen en acústica? ¿A qué equivalen en un péndulo simple? ¿Podemos relacionar las gráficas halladas con estas manipulaciones geométricas con un fenómeno físico relacionado con las escalas que usamos como datos de entrada?
  2. ¿Qué pasa si llevamos las gráficas de superposiciones y de rotaciones a una dimensión extra; por ejemplo en esferas, toroides y otros planos curvos? ¿Qué pasa si los generalizamos a n dimensiones?
  3. ¿Podemos hacer otras manipulaciones geométricas con los pares y sus gráficas simples, para obtener nuevas gráficas complejas?
  4. ¿Qué pasa si analizamos estas figuras emergentes usando geometría proyectiva, esto es, con manipulaciones distorsionantes?

Habiendo terminado esta sección de ejemplos de manipulación, procedamos a aplicarlos a nuestro experimento principal: las figuras basadas en escalas de siete notas.

Siguiente: Manipulando los polígonos musicales.


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