Geometría y Blues. 03: Dibujando escalas

03 Circulo estuctura ok5. ESCALAS, PARTE I: LAS CLÁSICAS

Veamos lo que tenemos para comenzar:

  1. Un círculo con un dodecágono regular inscrito (imagen arriba), en donde cada punto representa una nota, y todas las notas se suceden a la derecha en intervalos de siete semitonos; y
  2. Siete estructuras de escalas (las escalas modales), que dibujaremos en dicho círculo.

Recuerde: siempre usaremos la escala comenzando en Do (C), aplicándole las diferentes estructuras que tenemos. Las notas en sí no importan, sino las estructuras emergentes.

Antes de comenzar, pregúntese esto: todas estas escalas tienen estructuras distintas, que avanzan siempre con pasos de 1 ó de 2 semitonos, mientras que los puntos están distribuidos en el círculo con intervalos de 7 semitonos entre nota y nota. ¿Hay razón para pensar que obtendremos simetrías al trazar las rectas? ¿Qué tipo de figuras cree que emerjan?

Empecemos usando la única escala cuya estructura de hecho es simétrica: la mencionada escala dórica (2122212).

Al trazar las rectas a partir de C (Do), obtenemos:

01a Escalas modales Dórica¡Qué bonito! La verdad no me esperaba eso. Es una estrella achatada de 7 puntas, o bien un polígono de 14 lados que se queda inscrito en la mitad superior del círculo, con simetría en la nota fundamental. Como las líneas se entrecruzan, está formado por un heptágono achatado, más siete triángulos. ¿Se esperaba usted algo parecido?

Quiero decir que ni remotamente estamos siendo aquí los primeros en descubrir esta estrella, por supuesto. Roel Hollander es aparentemente alguien igual de desocupado que yo y tiene un artículo genial en donde se pone a explorar esta y otras figuras construidas de forma parecida. Tony Phillips tiene como hobby hacer análisis topológicos a partir de composiciones de Bach. Estos estudios y otros muchos parecidos son fascinantes, pero aquí iremos por un camino distinto. Primeramente, seguiremos construyendo todas las escalas modales a partir de Do. ¿Qué cree que pase?

Aquí está el resultado:

01b Escalas modales 6Aunque estamos usando estructuras diferentes con cada escala, geométricamente nuestro resultado es indistinguible. Pensándolo un momento, es lógico: tenemos siempre la misma estrella de siete puntas pero “desfasada” de su posición simétrica, porque en realidad estamos creando siempre la misma estructura, solamente que contada desde diferentes puntos de partida. Esto es, el énfasis está en diferentes puntos, y ese énfasis está indicado por la orientación de la estrella.

Los pares simétricos son fáciles de ver, ya que en cada uno las estructuras son reflejo de su contraparte: por ejemplo la escala Mixolidia (V) tiene una estructura de 2212212 y la escala eólica (VI), tiene su “palíndromo” de 2122122.

Finalmente, ninguna escala se extiende más allá de la mitad del círculo, pero esto también es obvio porque como todas son escalas que parten de Do, no tendrían por qué irse radicalmente a las antípodas, donde están las armonías más lejanas. La interpretación física puede ser expresada como: todas son escalas de Do, pero hacen énfasis en diferentes notas, que le confieren su “feeling” particular (diríamos con el oído) o su desfase geométrico.

Antes de continuar, hagamos algunas preguntas relacionadas con aspectos geométricos de este resultado.

Preguntas:

  1. ¿Cuál es el área de esta estrella, considerando que está formada a partir de un dodecágono inscrito en un círculo de radio 1?
  2. ¿Cuál es la relación entre el área de la estrella y el área del círculo?
  3. ¿ Cuál es la relación entre el área de la estrella y el área del dodecágono?
  4. ¿Cuál es la suma de los ángulos de la estrella?
  5. ¿Cuál es la clasificación formal de la estrella? (Su nombre sería heptagrama, pero no sería regular).
  6. Cuál es el área individual de los polígonos internos de la estrella? Esto es, su heptágono y siete triángulos.
  7. ¿Cuál es la explicación formal de que la configuración del dodecágono, con sus notas en intervalos de quinta, produce estas simetrías e isomorfismos en las escalas modales?

El porqué de estas preguntas irá siendo más aparente en los siguientes capítulos.

6. ESCALAS, PARTE II: SIMETRÍAS

Apenas nos hemos mojado los pies en el agua usando las siete escalas modales clásicas, y hemos encontrado ya un interesante resultado geométrico, más un montón de preguntas para hacer cálculos un buen rato.

Vamos ahora a ver más casos de escalas. En la música hay un número increíble de ellas, cada una con su estructura que le da su tinte acústico particular. Están las diversas escalas de jazz y de blues, las escalas orientales como la japonesa, y un sinfín de escalas con nombres exóticos como octatónica, disminuida, alterada dominante, etc. El compositor y lexicógrafo Nicolas Slonimsky catalogó cientos de escalas diferentes en su Diccionario de Escalas y Patrones Musicales. Así que si a usted le interesa, hay material para nunca acabar. Sin embargo, como nuestro experimento es limitado, veremos tan sólo unos cuantos ejemplos para ilustrar la riqueza de los resultados que podemos obtener.

Primeramente, al igual que hicimos en el capítulo anterior, tomemos escalas que sabemos de antemano que tienen estructuras simétricas, para ver sus manifestaciones en nuestro círculo. Tomaré nueve casos que describo a continuación. A medida que los ve, piense si se puede imaginar el resultado:

NOMBRE – ESTRUCTURA

Cromática – 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Tonos enteros – 2 2 2 2 2 2

Octatónica – 2 1 2 1 2 1 2 1

Pentatónicas – 2 2 4 2 2 / 4 6 4 6 4

He aquí los trazos de los polígonos creados a partir de estas primeras cinco escalas (las dos pentatónicas las incluí en un mismo círculo; la Octatónica la conté, sólo por esta ocasión, a partir de D):

02 Escalas simetricas 1No sé usted, pero a mí me emociona ver esos resultados: la relación de simetría entre estructuras de relaciones físicas y de construcciones geométricas.

Ahora tomemos cuatro escalas más, que nos darán nuevos casos de simetría, uno de ellos que ya vimos al dibujar las escalas modales:

NOMBRE – ESTRUCTURA

Fa menor melódica – 2 2 1 2 1 2 2

Do alterada dominante 1 2 1 2 2 2 2

Pentatónica mayor 2 2 3 2 3 2 2 3 2 3…

Simétrica simple 1 3 2 2 3 1

La pentatónica mayor tiene una “pseudo-simetría” que se aprecia cuando se sigue avanzando y forma el patrón 2232322. La escala que llamo “simétrica simple” es simplemente una construcción que hice sin saber si suena bien o no; la construí numéricamente sin escucharla ni visualizarla en un instrumento, y la diagramé comenzando en E (Mi). El resultado es gratamente sorprendente:

03 Escalas simetricas 2Podemos ver que también fuera de las escalas modales clásicas, obtenemos equivalencias geométricas entre otras escalas, por ejemplo Fa menor melódica y Do alterada dominante (también llamada “acústica”), que poseen la misma estructura pero con diferente orientación. Ambas forman una estrella de siete puntas, pero con solamente 12 lados. En ambos casos, el énfasis tonal, que para nosotros significa el punto de simetría, está en la Subdominante (grado VI). Para Fm melódica, es en la nota C, y para C alterada dominante es en A♭. Es interesante también saber que esta misma estructura recibe también otros nombres, como Lidia Dominante (dentro de las escalas modales) y Vachaspati, dentro de la teoría musical de la India. El efecto de esa misma estructura dentro de diversas armonías y tradiciones es bastante diferente aunque en nuestro sistema sean la misma geometría. Así, volvemos al punto de Shapiro: “lo que desde un punto de vista es un objeto, desde otro no es más que un lugar dentro de una estructura”.

La escala pentatónica mayor usa solamente cinco notas con intervalos de 2 y 3 semitonos, que se agrupan de forma menos amplia que otras escalas.

La estructura simétrica que construí es muy cercana a una escala pentatónica, pero que en mitad de su avance incluye una nota (Mi) muy alejada de la armonía que une a las otras, y por eso crea un pico alrededor del cual se nota el énfasis.

Hasta lo que hemos visto aquí, quizá podemos intentar algunas definiciones informales de las características que estamos observando. A partir del trazo de una escala en nuestro círculo, tenemos:

1- Polígono de la Escala, P(e): la descripción del polígono o estrella emergente. Para definir formalmente estos polígonos podríamos usar nomenclaturas derivadas de notaciones comunes, como los símbolos de Schläfli o los grupos de Coxeter.

2- Amplitud de la Escala, A(e): el área del Polígono de la Escala.

3- Dispersión de la Escala, D(e): el punto más alejado del punto origen de la Escala, que en nuestro círculo de quintas puede tomar valores de 1 a 6, o bien de 300 a 1800.

4- Extensión de la Escala, X(e): la relación entre el área del Polígono de la Escala vs. el área total del dodecágono. Esto es, qué tanto espacio abarca la escala del total de su potencial tonal.

5- Orientación de la Escala, O(e): la rotación respecto al punto de simetría vertical. Sólo aplica en el caso de diferentes estructuras que rotan alrededor del círculo. En nuestro caso del Círculo de Quintas, toma valores que son múltiplos positivos ó negativos de 30o, que es el ángulo mínimo entre dos puntos adyacentes.

6- Finalmente, debemos definir esa variable e que representará cada escala en particular, de preferencia que no sea con su nombre común, sino como un concepto más general. En lenguaje matemático quedaría un poco raro poner “P(e), donde e es la escala dórica”. Veremos un intento de formalizar este valor en un capítulo posterior.

Preguntas:

  1. ¿Cuáles son las áreas de los polígonos creados por estas nuevas escalas?
  2. ¿Cómo se relacionan las Amplitudes de las diferentes escalas? ¿Son fracciones o números irracionales? ¿Podemos encontrar una función de sus relaciones?
  3. Si se hiciera un análisis estadístico de frecuencia de uso de escalas en la música popular, ¿cuál sería la relación entre la frecuencia de su uso y su Amplitud, Dispersión y Extensión?
  4. De la misma forma ¿cuál sería la relación entre la frecuencia del uso de escalas en instrumentos individuales y su A(e), D(e) y X(e)?

Mañana: asimetrías en las escalas, dibujando acordes, y probando la configuración cromática en lugar de la de quintas.

Referencias:

Hollander, Roel. Music & Geometry.

Phillips, Tony. Surface Topology in Bach Canons, II: The Torus. American Mathematical Society. Mayo 2017.

Pentatonic scale. Wikipedia.

Acoustic scale. Wikipedia.

Vachaspati (raga). Wikipedia.

Símbolos de Schläfli. Wikipedia.

Coxeter Group. Wikipedia.


2 Comentarios

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RaulRaul

Muy interesante.
En el primer capítulo hay una errata, pero están desactivados los comentarios.
Dice que si baja a 440 Hz encontraremos una nota una octava más baja que la nota original, pero la nota original es el La 440.

DiegoDiego

Excelentes artículos. Porqué en el ejemplo de la Octatonica ésta no comienza en C?

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