Vamos a ver de nuevo el fascinante tema de cómo podemos abordar un problema desde varios ángulos diferentes.

Antes hemos explorado cómo un problema, por ejemplo geométrico, se puede resolver de muchas formas, usando las diferentes herramientas que tenemos disponibles. Esto nos da un “estilo” de proceder: hay quienes somos muy cuidadosos y metódicos aunque tardemos más, y hay quien puede ver a vuelo de pájaro una solución rápida y elegante.

También hemos mencionado cómo podemos abordar un problema por medio del tanteo, cuando se nos dificulta traducirlo rápidamente a ecuaciones.

E incluso hemos dado ejemplos de cómo hacer lo que llamamos trampas creativas: pensando “fuera de la caja” para inventar métodos que incluso quien planteó el problema no había considerado.

Hoy veremos otra variante: cómo un mismo problema se puede plantear a diferentes niveles de comprensión matemática. Esto es, que un niño pueda abordar un problema de formas progresivamente más sofisticadas, en el sentido de las herramientas que usa, pero que desde el principio lo asimile conceptualmente.

 

EL PROBLEMA

Uno de los tipos más antiguos de problemas para practicar, es el llamado “problema de reparticiones”, que divide una cantidad X en varias fracciones que deben ser sumadas. Ya antes he mostrado ejemplos antiquísimos, de los babilonios y los griegos. El ejemplo que tomaremos es muy bello y está planteado en un texto más moderno, los Acertijos de Moscú (1956), una magnífica compilación del matemático Boris Kordemski.

En la mejor tradición clásica, propone el problema con una divertida historia:

Iba un ganso volando cuando se encontró con una parvada de gansos que venían en dirección contraria. “¡Hola, cien gansos!”, les saludó.

El líder de la parvada contestó, “¡No somos cien! Pero si tomas dos veces el número de gansos que somos, y le sumas la mitad de ese número, luego le sumas un cuarto de ese número y luego te sumas tú, sí somos cien.”

El ganso no era muy bueno para calcular así que al ver a una grulla que cazaba ranas, decidió aterrizar y preguntarle su opinión, ya que como sabemos… las grullas son muy buenas para las matemáticas.

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Hasta aquí el planteamiento. Ahora vamos a resolverlo de tres formas, de la más sencilla a la más sofisticada: la primera será por aproximaciones (solución algorítmica), la segunda será la mostrada por Kordemski, que es una solución gráfica, y finalmente la solución “adulta” que es de forma algebraica.

 

SOLUCIÓN ALGORÍTIMICA

El reto puede ser planteado a un niño de tercero de primaria sin ningún problema, basta que sepa las operaciones aritméticas básicas.

Para hallar la solución, simplemente creamos una tabla para ir probando valores, hasta dar con el valor final.

La idea es muy sencilla: encontrar un número que si lo multiplicas por 2, le sumas la mitad, luego la cuarta parte y luego 1, te da 100. La cosa se hace más sencilla al notar que sólo podemos tomar en cuenta números que se puedan dividir entre 4.

No toma muchos intentos el darse cuenta también, que el número debe ser menor a 50, porque con sólo multiplicarlo por 2 ya nos hemos excedido. Y también podemos ver que 30 es bastante pequeño, así que ya tenemos un rango que reduce mucho el trabajo. Haciendo pocos experimentos llegamos al valor:

El hacer la tabla no es complicado, y la clave para el niño es darse cuenta de que haciendo unas pocas observaciones (múltiplos de 4, números en un rango reducido), el problema se hace mucho más sencillo de lo que puede parecer al principio.

 

SOLUCIÓN GRÁFICA

La solución que le da la grulla al ganso es extraordinariamente elegante: una solución gráfica que muestra claramente el por qué:

Con su largo pico, la grulla hace sobre el suelo varias rayas: dos rayas largas iguales, una de la mitad de ese tamaño, otra de la cuarta parte de ese tamaño, y una muy pequeña, casi como un punto. Lo podemos visualizar así:

La grulla dice que la línea más larga representa el total de gansos en la parvada y entonces todas las líneas juntas, más el punto, representan 100 unidades. Luego dice que sabiendo eso, debemos considerar todo en cuartos. Esto es:

Una vez visualizado así, la grulla le pregunta al ganso, “¿cuántos cuartos ves ahí?”  El ganso responde que son 11. La grulla dice que esos 11 cuartos equivalen a 99 gansos, así que, ¿cuántos gansos hay en uno de esos cuartos?

El ganso contesta que son 9.

“¡Muy bien!” dice la grulla, “de modo que, ¿a cuántos gansos equivale la parvada?”

El ganso ve la luz: “¡Son 9×4, claro!”

Esta es una forma muy hermosa de ver un problema que en principio es aritmético, pero que lo podemos traducir a una clara representación visual y entenderlo de inmediato.

Finalmente:

 

SOLUCIÓN ALGEBRAICA

Cuando ya sabes un poco más de matemáticas, lo primero que se te ocurre es crear una ecuación, lo que es una forma más “adulta” de hacerlo. Sin embargo el problema sigue siendo lo suficientemete accesible para plantearlo a un niño de sexto año, que ya sabe usar fracciones y que no tiene problema para entender lo que es una incógnita:

x = cantidad de gansos en la parvada

La ecuación a partir del problema se construye así:

2x + x/2 + x/4 + 1 = 100

Poniendo todo con denominador 4 y resolviendo:

8x/4 + 2x/4 + x/4 + 1 = 100

11x/4 + 1 = 100

11x/4 = 99

11x = 396

x = 36

 

Así podemos ver que un problema que normalmente consideramos como algebraico, puede plantearse de forma temprana y usar herramientas más sencillas, progresando paulatinamente hasta poder manejarlo de forma más abstracta. El incluir todo este proceso brinda una comprensión más íntima.